解説：
余弦定理：
BC^2= AB^2+AC^2-2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A}
30^\circのときの三角比
\begin{eqnarray} \sin{30^\circ} &=& \frac{1}{2} \\ \cos{30^\circ} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan{30^\circ} &=& \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{eqnarray}
余弦定理に代入する。
\begin{eqnarray} BC^2 &=& AB^2 + AC^2 -2\times AB \times AC \times \cos{A}\\ BC^2 &=& (5\sqrt{3})^2 + 5^2 -2 \times 5\sqrt{3} \times 5 \times \cos{30^\circ}\\ BC^2 &=& 25 \times 3 + 25 -2 \times 5 \sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ BC^2 &=& 75 + 25 -2 \times 5 \sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ BC^2 &=& 100 -75 = 25\\ BC &=& \pm \sqrt{25} = \pm 5\\ & & BCは長さなので正の値であるので、\\ BC &=& 5\\ \end{eqnarray}
以上。