解説：
余弦定理：
$$ BC^2= AB^2+AC^2-2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A} $$
\(30^\circ\)のときの三角比
$$ \begin{eqnarray}
\sin{30^\circ} &=& \frac{1}{2} \\
\cos{30^\circ} &=& \frac{\sqrt{3}}{2} \\
\tan{30^\circ} &=& \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\end{eqnarray}$$
余弦定理に代入する。
$$ \begin{eqnarray}
BC^2 &=& AB^2 + AC^2 -2\times AB \times AC \times \cos{A}\\
BC^2 &=& (5\sqrt{3})^2 + 5^2 -2 \times 5\sqrt{3} \times 5 \times \cos{30^\circ}\\
BC^2 &=& 25 \times 3 + 25 -2 \times 5 \sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\
BC^2 &=& 75 + 25 -2 \times 5 \sqrt{3} \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\
BC^2 &=& 100 -75 = 25\\
BC &=& \pm \sqrt{25} = \pm 5\\
& & BCは長さなので正の値であるので、\\
BC &=& 5\\
\end{eqnarray} $$
以上。