解説：
$$ (x-2y+1)(x+2y+1)$$
まず、括弧内の式を前の括弧と後ろの括弧でよく見比べてみよう。
$$ x+1$$
が共通している。そこで、
$$A= x+1$$
と置いて、式を書き換えると、
$$ \begin{eqnarray}
(x-2y+1)(x+2y+1) &=& (x+1-2y)(x+1+2y) \\
&=& (A-2y)(A+2y)\\
（和と差の積の公式を利用）\\
&=& A^2-(2y)^2 \\
&=& A^2-4y^2 \\
A=x+1を元に戻して \\
&=& (x+1)^2-4y^2 \\
（平方（2乗）の公式を利用）\\
&=& x^2+2x+1-4y^2 \\
&=& x^2-4y^2+2x+1 \\
\end{eqnarray}$$
以上。