解説：
二次関数の中でのｋの値を、最大値、あるいは、最小値から求める問題
手順１：二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
手順２：二次関数の軸の\(ｘ\)座標を求める。
手順３：軸のx座標は、二次関数の内か外か
手順４：軸から遠い変域の端に、最小値が現れる。
手順５：最小値が現れる\(x\)の値と、その時の\(y\)の値(最小値)を、式に代入し、\(k\)の値を求める。
手順１：二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
この問題で与えられた二次関数\( y=(x-1)^2+k (kは定数)\)の二次の項が\( (x-1)^2)で、符号がプラスである。従って、下に凸のグラフである。
手順２：二次関数の軸のx座標を求める。
\(y=ax^2+bx+c\)のとき、二次関数の軸のx座標は\(y = \frac{2a}{b} \)である。
この問題で与えられた二次関数\( y=(x-1)^2+k (kは定数)\)の軸のx座標は、\(x=1\)と分かる。
手順３：軸のx座標と、二次関数の変域の位置関係を調べる。
この問題では、軸のx座標が\(x=1\)で、\(x\)の変域が\( 2\leq x \leq 5 \)なので、「軸のx座標がxの変域の外」である。
手順4：軸から近い変域の端に、最小値が現れる。
この問題では、\(x=2\)の方が、\(x=5\)より、軸\(x=１\)に近いことが分かる。
手順5：最小値が現れるxの値と、最小値を式に代入し、kの値を求める。
この問題では、\(x=２\)のとき最小値\(y=3\)であることを、二次関数\( y=(x-1)^2+k (kは定数)\)に代入する。
$$ \begin{eqnarray}
y &=& (x-1)^2+k \\
3 &=&(2-1)^2+k \\
3 &=& 1^2+k \\
-k &=& 1-3 \\
-k &=& -2 \\
k &=& 2\\
\end{eqnarray} $$
以上。