解説:
二次関数の中でのkの値を、最大値、あるいは、最小値から求める問題
手順1:二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
手順2:二次関数の軸のx座標を求める。
手順3:軸のx座標は、二次関数の内か外か
手順4:軸から遠い変域の端に、最小値が現れる。
手順5:最小値が現れるxの値と、その時のyの値(最小値)を、式に代入し、kの値を求める。
手順1:二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
この問題で与えられた二次関数 y=(x-1)^2+k (kは定数)の二次の項が\( (x-1)^2)で、符号がプラスである。従って、下に凸のグラフである。
手順2:二次関数の軸のx座標を求める。
y=ax^2+bx+cのとき、二次関数の軸のx座標はy = \frac{2a}{b} である。
この問題で与えられた二次関数 y=(x-1)^2+k (kは定数)の軸のx座標は、x=1と分かる。
手順3:軸のx座標と、二次関数の変域の位置関係を調べる。
この問題では、軸のx座標がx=1で、xの変域が 2\leq x \leq 5 なので、「軸のx座標がxの変域の外」である。
手順4:軸から近い変域の端に、最小値が現れる。
この問題では、x=2の方が、x=5より、軸x=1に近いことが分かる。
手順5:最小値が現れるxの値と、最小値を式に代入し、kの値を求める。
この問題では、x=2のとき最小値y=3であることを、二次関数 y=(x-1)^2+k (kは定数)に代入する。
\begin{eqnarray} y &=& (x-1)^2+k \\ 3 &=&(2-1)^2+k \\ 3 &=& 1^2+k \\ -k &=& 1-3 \\ -k &=& -2 \\ k &=& 2\\ \end{eqnarray}
以上。