解説：
変域が示されていない最大値最小値問題なので、やや面食らうかもしれませんが、取り敢えず気にせずに普段の手順で解いてみると良いでしょう。
手順１：二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
手順２：二次関数の軸のｘ座標を求める。
手順３：軸のx座標は、変域の内か外か
手順４：軸から遠い変域の端に、最小/大値が現れる。
手順１：二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
この問題で与えられた二次関数\(y = \color{blue}{-(x-1)^2}+2\)の二次の項が\(\color{blue}{-(x-1^2}\)を見て、カッコの前の符号がマイナスである。従って、上に凸のグラフである。
手順２：二次関数の軸のx座標を求める。
\(y = -(x-\color{blue}{1})^2+\color{red}{2}\)であるので、二次関数の軸のx座標は\(y = \color{blue}{1} \)である。
すなわち、上に凸のグラフであることと合わせて、最大値\( \color{red}{2} \)をとる。
ここまで解き進めれば、選択肢①が正解だと分かる。
ここまでで、正解にたどり着いてはいるが、選択肢後半の「最小値はない」も確認しておく。
手順1で調べたように、二次関数\(y = -(x-1)^2+2\)は、上に凸のグラフなので、変域のない場合には、\(x\)の値が大きくなればなるほど、あるいは、小さくなればなるほど、yの値は小さくなり、無限小になっていく。したがって、「最小値はない」ということになり、選択肢①で矛盾しない。
以上。