解説：
二次関数の式と頂点の関係
二次関数\(y=a(x-\color{red}{p})^2+\color{blue}{q}\)の頂点は、
\((\color{red}{p}, \color{blue}{q})\)である。
二次式の平方完成
二次式を平方完成する。
$$ \begin{eqnarray}
y &=& ax^2+bx&+&c\\
&& && 左辺の2次の項と1次の項をaで括る \\
y &=& a(x^2+\frac{b}{a}x)&+&c \\
&& && 括った中の1次の項の係数の1/2を2乗した値を\color{red}{足して}\color{blue}{引く}\\
y &=& a(x^2 +\frac{b}{a}x \color{red}{+\frac{b^2}{(2a)^2}} \color{blue}{-\frac{b^2}{(2a)^2}}) &+& c \\
y &=& a(x+\frac{b}{2a})^2 \color{blue}{-\frac{b^2}{4a}}&+&c\\
\end{eqnarray} $$
与えられた二次関数\(y=x^2+6x+9+k\)を平方完成して、上記の形に揃える。
$$ \begin{eqnarray}
y &=& x^2+6x&+&9&+&k \\
y &=& (x^2+6x)&+&9&+&k \\
y &=& (x^2+6x\color{red}{+9}\color{blue}{-9})&+&9&+&k\\
y &=& (x^2+6x+9)\color{blue}{-9}&+&9&+&k\\
y &=& (x+3)^2&&&+&k\\
\end{eqnarray} $$
従って、グラフの式から分かる頂点の座標は、\((3,k)\)である。問題には、\(y\)座標が\(4\)であると書かれているので、\(k=4\)と分かる。
以上。