解説：
二次関数の式と頂点の関係
二次関数\(y=a(x-\color{red}{p})^2+\color{blue}{q}\)の頂点は、
\((\color{red}{p}, \color{blue}{q})\)である。
この問題では、頂点が(2,-4)であるので、求める二次関数は、$$ y=a(x-2)^2-4$$である。この式が、原点(0,0)を通るので、\(x=0, y=0\)を代入すると、
$$ \begin{eqnarray}
y&=&a(x-2)^2-4 \\
0 &=& a \times (0-2)^2-4 \\
0 &=& a \times (-2)^2-4 \\
0 &=& a \times 4 -4 \\
-4a &=& -4 \\
a&=& 1 \\
\end{eqnarray} $$
従って、求める二次方程式は、
$$ y=(x-2)^2-4 $$
である。
以上。