解説：
放物線が\(0,0) \)と\( (2,0) \)でx軸と交わっているので、頂点のx座標は、その中間の1である。
\(x=1\)を与えられた二次関数の式に代入すると、
$$ \begin{eqnarray}
y &=& -x^2+2x \\
y &=& -1^2+2 \times 1 \\
&=& -1+2 \\
&=& 1
\end{eqnarray} $$
従って、求める放物線の頂点は\( (1,1) \)となる。
別解
この問題ではグラフが描かれていてx軸との交点が分かりましたが、式だけ与えられている場合には、平方完成を利用して頂点を求めるのが一般的です。
$$ \begin{eqnarray}
y &=& -x^2+2x \\
y &=& -(x^2-2x) \\
y &=& -(x^2-2x+1-1) \\
y &=& -(x^2-2x+1)+1 \\
y &=& -(x-1)^2+1 \\
\end{eqnarray} $$
従って、頂点の座標は、\( (1,1) \)である。
以上。