解説：
二次関数と放物線の頂点
放物線の頂点が\( (p,q) \)のときの二次関数の式は、 $$ y=a(x-p)^2+q $$
グラフの頂点が\( (4,-3) \)なので、求める二次関数のグラフは、
$$ y =a(x-4)^2-3 $$
である。
選択肢①～④まで、頂点の座標\( (4,-3) \)を代入してみると、②、③だけ等式が成立する。これをみても、\(y =a(x-4)^2-3 \)であることが分かる。
頂点\( (3,-1) \)を通るので、\( y=a(x-4)^2-3 \)に代入する。
$$ \begin{eqnarray}
y &=& a(x-4)^2 -3 \\
-1 &=& a(3-4)^2-3 \\
-1 &=& a \times (-1)^2 -3 \\
-1 &=& a-3 \\
-1+3 &=& a \\
a &=& 2
\end{eqnarray}$$
従って、求める二次関数の式は、
$$ y = 2(x-4)^2-3 $$
となる。