解説：
\(30^\circ, 60^\circ\)の直角三角形の\(\sin, \cos, \tan\)は暗記しておこう。（あと、\(45^\circ\)も）
$$ \begin{eqnarray}
\sin{30^\circ}&=&\frac{1}{2}&,&\cos{30^\circ}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}\\
\sin{45^\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{2}}&,&\cos{45^\circ}&=&\frac{1}{\sqrt{2}}\\
\sin{60^\circ}&=&\frac{\sqrt{3}}{2}&,&\cos{60^\circ}&=&\frac{1}{2}\\
\end{eqnarray}$$
従って、与えられた式は、
$$ \begin{eqnarray}
& &\sin{30^\circ}&&\cos{60^\circ}&+&\cos{30^\circ}&&\sin{60^\circ}\\
&=&\frac{1}{2}&\times&\frac{1}{2}&+&\frac{\sqrt{3}}{2}&\times&\frac{\sqrt{3}}{2}\\
&=& &\frac{1}{4}& &+& & \frac{3}{4}&\\
&=&1\\
\end{eqnarray}$$
となる。
別解
\(\sin\theta\)と\(\cos(90^\circ-\theta)\)の関係
$$ \begin{eqnarray}
\sin \theta &=& \cos(90^\circ-\theta) \\
\cos \theta &=& \sin(90^\circ-\theta) \\
\end{eqnarray}$$
\(\sin\)と\(\cos\)の関係
$$ \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta =1 $$
与えられた式に出てきている角度は、\(60^\circ\)と\(30^\circ\)であり、足すと\(60^\circ+30^\circ=90^\circ\)である。そこで、\(\theta\)と\(90^\circ-\theta\)の三角比の関係を使うこととする。
ここでは、\(60^\circ\)を\(30^\circ\)にする方針で変形する。
$$ \begin{eqnarray}
&&\sin30^\circ&\cos\color{red}{60^\circ}&+&\cos30^\circ&\sin\color{red}{60^\circ} \\
&=&\sin30^\circ&\cos(\color{red}{90^\circ-30^\circ})&+&\cos30^\circ&\sin(\color{red}{90^\circ-30^\circ})\\
&=&\sin30^\circ&\color{red}{\sin30^\circ}&+&\cos30^\circ&\color{red}{\cos(30^\circ)}\\
&=&\sin^{2}{30^\circ}&&+&\cos^{2}{30^\circ}\\
&=&1
\end{eqnarray} $$
以上