解説：
二次関数の中でのｋの値を、最大値、あるいは、最小値から求める問題
手順１：二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
手順２：二次関数の軸の\(ｘ\)座標を求める。
手順３：軸のx座標は、二次関数の内か外か
手順４：軸から遠い変域の端に、最小値が現れる。
手順５：最小値が現れる\(x\)の値と、その時の\(y\)の値(最小値)を、式に代入し、\(k\)の値を求める。
手順１：二次関数が、上に凸か下に凸かを見極める。
問題で与えられている式は、$$ y = \color{red}{-}(x-3)^2+k $$
であり、この式の二次の項がマイナス\(\color{red}{（赤で示したマイナス(-)）}\)なので、この式のグラフは上に凸である。
手順２：二次関数の軸のx座標を求める。
問題で与えられている式は、$$ y=-(x\color{red}{-3})^2+k $$
である。従って、この式の軸は、$$ x=3 $$であるとすぐに分かる。
手順３：軸のx座標は、二次関数の変域の内か、外か。
問題で与えられている二次関数の変域は、$$ -2 \le x \le 4 $$であるので、二次関数（放物線）の軸 \(x=3\)は、変域の中にある。
手順４：軸から遠い変域の端に、最小値が現れる。
従って、変域\(-2 \le x \le 4\)の間での最小値は、軸(x=3)より遠い\(x=-2\)の時である。
手順５：最小値が現れるxの値と、その時のyの値(最小値)を二次関数の式に代入し、kの値を求める。
\( \color{red}{x=-2}\)の時に、最小値\( \color{blue}{y=-20}\)をとるので、
$$ \begin{eqnarray} \\
y &=& -(x-3)^2+k \\
\color{blue}{-20}&=& -(\color{red}{-2}-3)^2+k \\
-20&=& -(-5)^2+k \\
-20 &=& -25+k \\
k &=& 25-20 = 5 \\
\end{eqnarray} $$
以上。