解説：
正弦定理：
$$ \frac{a}{\sin{\angle{A}}} = \frac{b}{\sin{\angle{B}}} =2R $$
正弦定理に代入する。
$$ \begin{eqnarray}
\frac{AB}{\sin{C}} &=& \frac{AC}{\sin{B}} \\
&& AB=6cm, \sin{B} = \frac{2}{7}, \sin{C} = \frac{3}{7} なので、\\
\frac{6cm}{\frac{3}{7}} &=& \frac{AC}{\frac{2}{7}} \\
&&両辺の分母分子に7を掛ける。\\
\frac{6cm \times{7}}{\frac{3}{7}\times{7}} &=& \frac{AC \times{7}}{\frac{2}{7}\times{7}} \\
\frac{6cm \times 7}{3} &=& \frac{AC \times 7}{2} \\
6cm \times 7 \times 2 &=& AC \times 7 \times 3 \\
AC &=& \frac{6 \times 7 \times 2}{7 \times 3} = 4cm \\
\end{eqnarray} $$
以上。