解説：
まず、\(\angle{C}\)を求める。
三角形の内角の和は180°なので、
$$ \angle{C} = 180^\circ – 30^\circ -105^\circ = 45^\circ $$
正弦定理：
$$ \frac{a}{\sin{\angle{A}}} = \frac{b}{\sin{\angle{B}}} =2R $$
正弦定理に代入する。
$$ \begin{eqnarray}
\frac{AB}{\sin{C}} &=& \frac{BC}{\sin{A}} \\
&& AB=4cm, \angle{A}=30^\circ, \angle{C} = 45^\circなので、\\
\frac{4cm}{\sin{45^\circ}} &=& \frac{BC}{\sin{30^\circ}} \\
&& \sin{45^\circ}= \frac{1}{\sqrt{2}},\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}なので、\\
\frac{4cm}{\frac{1}{\sqrt{2}}} &=& \frac{BC}{\frac{1}{2}} \\
&& 左辺の分母分子に\sqrt{2}を、右辺の分母分子に2を掛ける。\\
\frac{4cm \times \sqrt{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{2}} &=& \frac{BC \times 2}{\frac{1}{2}\times 2} \\
(4cm) \times \sqrt{2} &=& BC \times 2\\
BC \times 2 &=& 4cm \times \sqrt{2} \\
BC &=& \frac{4 \times \sqrt{2} cm}{2} \\
BC&=& 2\sqrt{2}cm\\
\end{eqnarray} $$
以上