解説：
与式$$y= -(x-1)^2+{\it k}$$は、上に凸で、放物線の軸は、x=1である。
変域が、$$ 0 \leq x \leq 4 $$ なので、放物線の軸から遠い端は、$$ x=4$$のときである。
従って、x=4のとき、最小値を取る。
与式にx=4を代入したとき、最小値-5となるので、
$$ \begin{eqnarray}
-5 &=& -(4-1)^2 +{\it k} \\
-5 &=& -3^2+{\it k} \\
-5 &=& -9+{\it k} \\
{\it k} &=& -9 +5 =4
\end {eqnarray} $$
以上。