解説：
まず、代入する前に式を整理してから、代入しましょう。
$$\begin{eqnarray}
A-2(B-C) &=& A -2B+2C \\
&=& (2x+y+1)-2(x+2y+2)+2(x-2y-3) \\
&=& 2x+y+1- 2x-4y-4+ 2x-4y-6 \\
&=& 2x-2x+2x +y-4y-4y-4\\
&=& 2x -7y -9
\end{eqnarray} $$
別解：
式の整理をせずに代入すると、こんな感じになります。
$$\begin{eqnarray}
A-2(B-C) &=& (2x+y+1) -2((x+2y+2) -(x-2y-3)) \\
&=& (2x+y+1)-2(x+2y+2-x+2y+3) \\
&=& (2x+y+1)-2(x-x+2y+2y+2+3) \\
&=& (2x+y+1)-2(4y+5) \\
&=& (2x+y+1)-8y-10 \\
&=& 2x-7y-9
\end{eqnarray} $$