解説：
余弦定理：
$$ BC^2= AB^2+AC^2-2\cdot AB \cdot AC \cdot \cos{A} $$
\(45^\circ\)のときの三角比
$$ \begin{eqnarray}
\sin{45^\circ} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\cos{45^\circ} &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\
\tan{45^\circ} &=& 1 \\
\end{eqnarray}$$
\begin{eqnarray}
BC^2 &=& AB^2 + AC^2 -2 \times AB \times AC \times \cos{\angle{A}} \\
BC^2 &=& \sqrt{2}^2 + 4^2 -2 \times \sqrt{2} \times 4 \times \cos{45^\circ} \\
\cos{45^\circ}&=& \frac{1}{\sqrt{2}}なので、\\
BC^2 &=& 2 + 16 -2 \times \sqrt{2} \times 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}}\\
BC^2 &=& 2+16 -8 = 10 \\
BC &=& \pm \sqrt{10}\\
& & BCは長さなので正の値であるので、\\
BC &=& \sqrt{10}\\
\end{eqnarray}
以上。