解説：
二次関数の最大値、最小値の問題は、軸の位置を見定める必要がある。
問題の二次関数は、
$$ y= -3(x-2)^2+1 $$
であり、軸の式は、
$$ x = 2 $$
頂点の座標は、$$(2,1)$$と分かる。
また、問題の二次関数は、xの2乗の前の係数が-3なので、上に凸の放物線であることが分かる。
従って、問題の二次関数$$ y= -3(x-2)^2+1 $$の最大値は、
$$ x=2 のとき、y=1である。$$
これは、問題文中に示されているxの変域
$$ 0 \leq x \leq 3 $$
の中にあるので、変域が示されていても、最大値は1である。
最小値は、変域の両端のどちらかに現れます。
$$ y= -3(x-2)^2+1 に、x=0を代入すると、 \\
\begin{eqnarray} \\
y &=& -3(0-2)^2+1 \\
&=& -3 \times2^2+1 \\
&=& -3 \times 4 +1 \\
&=& -12+1=-11\\
\end{eqnarray} $$
$$ y= -3(x-2)^2+1 に、x=3を代入すると、\\
\begin{eqnarray} \\
y &=& -3(3-2)^2+1 \\
&=& -3 \times1^2+1 \\
&=& -3 \times 1 +1 \\
&=& -3+1=-2\\
\end{eqnarray} $$
従って、最小値は、
$$ x=0のとき、y=-11$$
である。
参考：
下に凸の放物線の場合、軸から遠いほど値が小さくなる。
そこで、今回の問題では、x=0とx=3のうち、軸x=2から遠い方、x=0に最小値が現れるはずである。x=3を代入する計算は省くことが出来る。
以上。