解説：
$$ (x-y+1)(x+y+1)$$
まず、括弧内の式を前の括弧と後ろの括弧でよく見比べてみよう。
$$ x+1$$
が共通している。そこで、
$$A= x+1$$
と置いて、式を書き換えると、
$$ \begin{eqnarray}
(x-y+1)(x+y+1) &=& (A-y)(A+y) \\
和と差の積の公式を利用すると\\
&=& A^2-y^2 \\
A=x+1を元に戻して \\
&=& (x+1)^2-y^2 \\
平方（2乗）の公式を利用すると\\
&=& x^2+2x+1-y^2\\
2次の項から次数の降順に並べ替えると、 \\
&=& x^2-y^2+2x+1
\end{eqnarray}$$
以上。